לא התערבתי בכלל. עברתי בין התלמידים והצצתי איפה הם נמצאים, בזוגות או שלשות ניסיתי להתרשם האם יש תלמיד אחד פעיל ואחרים פחות פעילים או שיש דיון (אך לא התערבתי בכל מקרה). לא עודדתי שיתוף פעולה מלבד האפשרות לעבוד בזוגות או שלשות, אך גם לא מנעתי שיתוף פעולה כזה בין הקבוצות. במקרה אחד ראיתי שזוג אחד פנה לעזרת זוג אחר כדי להבין את שיטה ב' - והחברים בזוג האחר פשוט ענו להם לפי ההבנה שלהם את שיטה ב'. רק כאשר שני זוגות הכריזו שסיימו לעבוד - שאלתי אותם שאלה בעקבות העבודה, אך מיד אחר כך הבנתי שכמעט כולם סיימו והתכוננתי לדיון במליאה.

את שיטה ב' - היו תלמידים שהבינו כך: "על כל 20 נקודות מקבלים תוספת של 4 נקודות". והיו תלמידים שפרשו זאת כתוספת של חמישית או של 20%.

הרבה תלמידים שמו לב ששיטה ב' הכי טובה לחזקים, ושיטה ג' הכי טובה לחלשים בעוד שיטה א' שוויונית.

בעת העבודה על הבעיה היו לתלמידים הרבה תובנות חוץ-מתמטיות ביחס לשיטה הרצויה לתלמיד באופן אישי, לשיטה הרצויה לתלמידים בראיה חברתית, לשיטה הרצויה למורה, למה נחשב רצוי בעיניים של מורה, למה נחשב הגון ושוויוני. כמובן שכל תובנה כזו נושקת לתובנה מתמטית הקובעת איזו מהשיטות "מספקת את הסחורה" בהתאם לכל תובנה מהרשימה הנ"ל, ושכל ממשק כזה דורש הנמקה, למה אכן שיטה זו היא הכי מתאימה בהתאם לתובנה הנדונה.

תלמיד אחד שם לב שהתוספת לפי שיטה ד' היא בהתחלה הולכת וגדלה, ואח"כ הולכת וקטנה. לבסוף, הוא הגיעה למסקנה שעבור ציון 25 היא מקסימלית.

תלמיד אחד הציעה הצעה חלופית, שנראתה לו טובה מכל אלו שהוצעו.

מהזוית שלי כמורה לא נתקלתי בקשיים כאלה.

בהתחלה שאלתי שני תלמידים איזו שיטה הם כתלמידים מעדיפים שאני כמורה אאמץ. בהמשך שאלתי איזו שיטה כדאי לי כמורה לאמץ. עבור כל תשובה דרשתי נימוק. בנוסף, ניסיתי לשקף לתלמידים אילו ערכים (חוץ מתמטיים) כל העדפה כזו משקפת. מילים כמו: שיקולים אישיים (מה טוב לי כתלמיד חלש? כתלמיד חזק?), שיקולים חברתיים (מה יהיה טוב בסך הכל לתלמידי הכיתה? מה טוב לממוצע הכיתתי?), צדק ושוויון (תוספת שווה לכולם), הגינות (סיוע בהתאם לעבודה), סיוע לחלשים, שקיפות של הציון ביחס לידע (ולא שיטה שתעביר את כולם), ועוד - נכתבו על הלוח.

אחד התלמידים ששאלתי אותו מה היה מעדיף כתלמיד - קבע באופן ברור ששיטה ג' הכי טובה לחלשים ואילו שיטה ב' הכי טובה לחזקים אבל התקשה להסביר למה.

דוגמאות מספריות שתלמידים נתנו ביחס לשיטות השונות כחלק מהנימוקים שלהם - נכתבו באופן מסודר שאיפשר השוואה בתוך שיטה - בין ציונים שונים, ובין השיטות.

בשלב ראשון לא התייחסתי בכלל לפונקציות, ולא הצעתי לשרטט גרפים או לחפש ייצוגים אלגבריים לשיטות השונות. מטעם התלמידים היו תיאורים מילוליים של שיטות א'-ב' (שיטה ג' ניתנה מראש באופן כזה), והשוואות מספריות (טבלאיות יותר או פחות) של שיטות א', ג' ו- ד' (שיטה ב' ניתנה מראש באופן כזה).

לאחר הדיון עברנו במהירות על השאלות שבדף, ועל התשובות של התלמידים עבורן. התעכבנו מעט על ההוכחה ששיטה ד' מקיימת את הדרישה שתמיד הציון המתוקן גבוה מהמקורי.

תלמיד אחד הציע הצעה חלופית - ודנו בה. שאלתי את התלמידים אם היא דומה לאחת השיטות. לבסוף הגענו למסקנה שהיא דומה לשיטה ב'.

רק בסוף הדיון הצעתי להתבונן בתיקון הציון כפונקציה של הציון המקורי, וניסינו לשרטט את הגרפים המתאימים לכל השיטות באותה מערכת צירים. בהתחלה הם חשבו ששיטה ב' לא תתואר ע"י קו ישר, בניגוד לשיטה א', כי שם התוספת אינה קבועה, ולכן הם הופתעו כשגילו שגם כאן וגם בשיטה ג' מדובר בקו ישר, אך בשיטה ד' מיד היו תלמידים שאמרו "כאן זו כבר פרבולה" (בשבילם כל פונקציה שאינה קווית היא פרבולה...).

לפני סיום השיעור תלמידים העלו את הנושא של התוספת, בניגוד לציון המתוקן, אך לא הספקנו לחשוב על הגרפים של התוספת. בכל זאת התלמיד שתואר לעיל הסביר את מה שגילה ביחס לשיטה ד', שעבור ציון 25 היא נותנת תוספת מקסימלית.

דוגמא לדעות ועמדות שתלמידים הביעו:

שיטה ג' לא הגיונית כי אפילו מי שקיבל 12 הוא עובר (יקבל 56) והרעיון של ציון הוא שהוא צריך לשקף מי יודע את החומר ומי לא.

דוגמא לדברים שתלמידים הפנו לתלמידים אחרים:

בנוגע לתיקון הציון 81 היה ברור לכולם ששיטה ב' היא השיטה שמציעה לאבנר את הציון המתוקן הגבוה ביותר אך התעורר ויכוח בין שני תלמידים אם לציון של 81 לפי שיטה ב' יתאים הציון 96.2 או 97.2. הם התקשו לשכנע זה את זה.

תלמיד א': זה 97.2 בדקתי במחשבון (אין לו מושג שצריך להכפיל ב1.2 אבל יש לו כפתור של אחוזים והוא "הוסיף 20%".

תלמיד ב': יש לך בעיה במחשבון. אתה רואה בטבלה של-80 מתאים 96, ועוד נקודה אחת מוסיפה עוד חמישית, ולכן 96.2.

תלמיד א' סמך לחלוטין על המחשבון והפרוצדורה ותלמיד ב' סמך לחלוטין על ההיגיון שלו והיה קשה להם לשכנע זה את זה כי תלמיד ב' ציפה לשכנוע הגיוני, שתלמיד א' לא היה מסוגל לספק לו, ולהיפך. בסוף שאלתי את תלמיד ב' אם הגיוני שעל נקודה נוספת התיקון יהיה רק 0.2 שזה פחות מנקודה ורק אז הוא הבין את הטעות שלו.

זה גרם לתלמידים לחשוב, לדון, להשוות, והם היו מאד מעורבים בגלל ההקשר והערכים שצפו. העבודה בזוגות או שלשות עוררה הרבה דיונים פוריים.

השאלה שבה פתחתי את הדיון: מה כדאי לך כתלמיד? מה כדאי לי כמורה? היתה דרך טובה לסיכום במקום לעבור על הדף...

שלא הגעתי לפונקציות ולשרטוט הגרפים מוקדם יותר. שלא הספקתי לעסוק בשרטוט הגרפים של התוספת. שלא דנתי ברעיון של "מה טוב לממוצע?"

התפיסות השונות של שיטה ב'.

תמיד חשבתי שבשיטה ד' ככל שהציון יותר גבוה כך התוספת יותר קטנה, ולא שמתי לב שמתחת  25 זה הפוך.

התפיסה השגויה שאם בשיטה א' התוספת קבועה והגרף הוא קווי, ובשיטה ב' התוספת אינה קבועה אז כאן הגרף לא יהיה קווי.

פדגוגית: המטען הערכי-חברתי הפך לגורם מוטיבציוני, התלמידים היו מאד נלהבים מהדיון.

מתמטית: לא ציפיתי לתפיסה השגויה שגרף ב' יהיה לא קווי אבל זו היתה הזדמנות נחמדה לעסוק בכך [בד"כ הכיוון הוא: נתונה תבנית ממעלה ראשונה, איך יראה הגרף שלה? (תשובה: קו ישר). וכאן הכיוון הוא הפוך, איך נבדוק אם גרף הוא קווי או לא? (תשובה: אם התבנית תהיה ממעלה ראשונה, אז נדע שהוא קווי, ואם לא אז לא...)].

בויכוח בין שני התלמידים לגבי הציון המתאים ל- 81 הייתי צריכה לאפשר לתלמידים להכריע מי צודק, ויותר חשוב, לתת להם את ההזדמנות לשכנע את הטועה בטעותו. אני מצטערת שמיהרתי לקחת את תפקיד ה"מורה" בשלב הזה. 

מבחינת הצורך בחשיבה, בהנמקה, בשכנוע - דומה מאד.

בד"כ השיעורים שלי הם יותר במליאה ופחות בעבודה אישית ובזוגות או קבוצות קטנות.

הייתי ממליצה כי זה גרם לתלמידים לבחון פונקציות שונות המתוארות ביצוגים שונים ואילץ אותם לעבור מיצוג אחד לאחר לפחות בחלק מהמעברים. וגם בגלל שהתלמידים היו מאד מעורבים, בשל ההקשר הערכי.

לא הייתי ממליצה בתור אתגר רציני - כי לא התרשמתי שהתלמידים נתקלו בקושי משמעותי.

שהמתמטיקה משמשת אותם לבחור אופציה מועדפת בהתאם להעדפות ערכיות שונות. שאפשר לבחון אפשרויות שונות שמיוצגות ביצוגים מתמטיים שונים ולהשוות ביניהן.

אני לא בטוחה שיש לי תלמידים שלא פתרו את הבעיה.

כפי שהסברתי לעיל, הציונים הם עניין שנוגע לחיי התלמידים, והם התלהבו מההקשר הערכי: מה צודק, מה כדאי, למי זה טוב, ועוד.

לא לוותר בפעם הבאה על שרטוט הגרפים של התוספת ועל המחשבה איך ייראה הייצוג האלגברי של התוספת.